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By Katz N.M.

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A Comprehensive Introduction to Differential Geometry

E-book by means of Michael Spivak, Spivak, Michael

Differential Geometry in the Large: Seminar Lectures New York University 1946 and Stanford University 1956

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Example text

Man beachte, daß q wegen der Maximalit¨at von n sicher nicht durch eine Br¨ucke der L¨ange 1 erreichbar ist, denn der einzige Bogen dieser Br¨ucke w¨are ein p und q verbindender Weg Wn+1 mit I (Wn+1 ) ∩ I (Wj ) = ∅ f¨ur k = 1, . . , n. Fall I. q ist durch keine Br¨ucke erreichbar. Dann w¨ahlen wir auf jedem Wj einen von p und q verschiedenen Punkt sj folgendermaßen: Gibt es auf Wj einen durch eine Br¨ucke erreichbaren Punkt, so sei sj der sp¨ateste derartige Punkt; andernfalls sei sj der auf Wj unmittelbar hinter p kommende Punkt.

Eine v¨ollig analoge Betrachtung liefert eine Injektion i : W ∩ T → S mit i(t) ∈ S \ W und {t, i(t)} ∈ E f¨ur alle t ∈ W ∩ T . Offenbar ist dann {{s, h(s)} | s ∈ W ∩ S} ∪ {{(i(t), t} | t ∈ W ∩ T } ein Matching f¨ur (G), das aus |W | Kanten besteht. 3) Gleichheit. ✷ b) Aus dem Satz von K¨onig folgt der Heiratssatz Wir setzen jetzt den Satz von K¨onig als richtig voraus und legen die Situation des Heiratssatzes zugrunde. Seien also D, H endliche nichtleere Mengen und jedem d ∈ D eine Menge F (d) ⊆ H so zugeordnet, daß ur alle d∈D0 F (d) ≥ |D0 | f¨ D0 ⊆ D gilt.

Also gilt α (G \ v) = α (G), weswegen es ein maximales Matching M von G gibt, f¨ur welches keine Kante mit v inzident ist. Wir w¨ahlen nun eine nicht in M enthaltene Kante e, die mit u, aber nicht mit v inzident ist, was wegen deg u ≥ 3 m¨oglich ist. Wegen der Minimalit¨at von G erf¨ullt auch G \ e den Satz von K¨onig, womit wir α (G) = α (G \ e) = β(G \ e) erhalten. Es sei nun W eine u¨ berdeckende Punktemenge von G\e der M¨achtigkeit α (G); da keine Kante von M mit v inzident ist, kann W den Punkt v nicht enthalten.

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